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在一个特定大小的网格上（最多）遗弃若干个点，使得莫得三个点在归拢直线上？这果真是一个未处理的问题。但与一些看似浮浅实则费劲的问题不同（比如Collatz料想），这个问题上已获得了一些施展。望望这些施展，也许还不错深切了解如何处理数学中的敞开问题。一齐探索吧！

开拔点，从一个正方形网格初始，有n行n列。对于给定大小的网格，不错在网格线的交叉点遗弃若干个点，以确保莫得三个点不错用直线蚁集？

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这个“三点不同线（No three-in-line problem）”的问题领先由Henry Dudeney在1900年建议，其时是对于一个8x8的棋盘上的棋子。

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处理这类数学问题的一个有用要道是先不雅察n较小的情况。不错从小的网格初始，你会注意到，当n增大时，问题缓缓变得费劲。n为1和2的正方形不错王人备填满，但从3初始，就需要一些时刻。当n=4时，初始有多种不同的要道不错达到最大值，

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而在n=5时，必须初始有计划“象步”对角线：

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对于n=5，这里有一个可能的解：

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上界

当n较小时，可能遭遇的第一个保密是不知谈什么时刻停驻来。咱们如何知谈一经遗弃了整个符合的点？要是能有一个上界就好了：即使不祥情能达到阿谁数字，但肯定不成跨越阿谁数字。

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是时刻用一般的数学章程来求解问题了。当n较小时，能遗弃的最多的点的数目是网格的宽度乘以二。

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事实解说，咱们不错用称为鸽笼旨趣（pigeonhole principle）的章程来解说咱们弥远不会作念得更好。

鸽笼旨趣说，要是有n个对象被放入k个空间中，那么至少存在一个空间，其中有n/k或更多的对象。

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假定有5个鸽笼放16只鸽子。要是试图使每个鸽笼中有3只或更少的鸽子，那么只可容纳最多15只鸽子，是以有16只鸽子时，至少有一个鸽笼中必须有4只或更多的鸽子。

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要是只温柔正方形网格的行，并忽略列和对角线，那么不错把点手脚鸽子，行手脚鸽笼。每一转自己即是一条线，把柄章程，每行最多只可有2个点，这意味着在一个n x n的网格上，最多只可放2n个点。

是以咱们找到了一个上界，但咱们当今还不知谈当n取落拓值时，是否总能达到这个上界。本体上，我能找到的最大网格是n=52，在上头最多放2n（104）个点，使得莫得三个点在归拢直线上。

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下界

不错使用越来越高大的盘算机搜索越来越大的网格，但在数学中，咱们更可爱一般的情况。那么，对于n相配大时应该若何办？比如n=1000或者更大呢？咱们一经有一个上界。也许咱们不错找到一个下界。

文件中出现的第一个下界来自极其多产的数学家保罗·埃尔德什（Paul Erdős）。

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埃尔德什发现，对于任何质数 p，总能在 p x p 的网格上遗弃至少 p 个点。埃尔德什解说这极少的款式揭示了另一个有用的处理问题的时刻：用数学的另一个分支重写问题。埃尔德什将这个几何问题回荡为一个数字问题。咱们当今来看解说：

开拔点在方格上遗弃 x 和 y 坐标，举例从0到 p-1的整数。埃尔德什说咱们不错在每一列中遴荐一个点，以确保这些点中的任何三个都不在一条直线上。要道是：为了找到 y 值，取 x 值，然后求它的日常，并求除以 p 之后的尾数。

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是以咱们找到的点是沿着函数 y=x^2 mod p 的点。

咱们若何知谈这种要道老是有用的呢？在网格内取 y=x^2 mod p 上的落拓三个不同点。咱们称这些点的 x 坐标为 i、j 和 k，按递加限定，是以这些点的完好意思坐标分辩是(i, i^2 mod p)、(j, j^2 mod p)和(k, k^2 mod p)。

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第极少和第二点之间的线的斜率即是：

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同理，第极少和第三点之间的斜率是：

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要是这三个点在归拢条直线上，这些斜率必须颠倒：

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要是不错从这些分数中消去 j-i 和 k-i 就太好了，但咱们要小心，某些数字mod下除法可能会有奇怪的事情发生。比如：

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消去（4-1）后的谜底是5，但本体谜底是0。但在某个数字m下的除法在某些特殊情况下如实不错消去。

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尽头地，要是被除数、除数和商都条目为整数，且b与m除了1以外莫得人人因子，也即是，b和m是“互质”的。

在咱们的网格中，因为p自己即是质数，是以p与整个不是p的倍数的整数互质。由于 j-i 和 k-i 小于 p，它们不成是p的倍数，而由于 j+i 和 k+i 是整数，这意味着咱们不错省心肠进行这些消去操作。 最终得到 j=k。但咱们领先假定 i、j 和 k 都是不同的！是以，得到了一个矛盾，意味着这一组中莫得三个不同的点位于归拢条线上。是以，欧博会员网站埃尔德什的要道对一个质数大小的网格老是有用的。

对于质数n找到这个遵循更有匡助：咱们知谈至少不错在 nxn 网格中放入至少与小于n的最大质数相同多的点，其中莫得三点共线。是以对于1000x 1000的网格，最多放入的点的数目至少是997。何况，正如 Joseph Bertrand 所建议的，Pafnuty Chebyshev 所解说的，对于 n>1，老是存在一个介于n和2n之间的质数。是以，咱们至少老是不错在nxn网格中放入至少 n/2个点，莫得三个点共线。

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更好的下界

模数运算使得 Richard R Hall 和他的合著者在1974年进一步普及了下界。咱们将从视觉上看这些遵循，但咱们不会王人备解说它们。他们的论文比埃尔德什的解说难以交融，但要是你想了解，论文题目是“Some advances in the no-three-in-line problem”。

作家开拔点解说，不管n是否是素数，任何n x n网格上都不错遗弃至少 n 个不共线的三点。

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使用贝尔特兰和切比雪夫的定理在 n/2和n之间选取一个素数p。方程 xy mod p = -1给出了一组 S 中的 p-1个不在一线的点，这些点位于 p x p 的网格中，何况莫得两个点分享归拢转。

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咱们不错通过将直线的方程 y=mx+b 代入方程来解说这极少。这产生了一个二次方程，

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其最多有两个解，对应于 S 中的线上最多两个点，这些点在 mod p 下不等价。此描摹袒护了很多模运算法例，但 Hall 和他的一又友们解说了整个的细节。然后咱们不错取 S 的两个副本，

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再加上一个独特的（(p-1, p+1），然后将那些 2p-1 个点的前 n 个遗弃在 n x n 网格上。其次，他们解说，对于任何素数 p，一个 2p x 2p 的网格不错容纳 3p-3 个点，或稍少于1.5n。

取这组S中的 p-1个点，将其分为四个四分之一网格，

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并将这些四分之一网格分辩复制3次，围绕 2p x 2p 的网格枚举。

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这个大鸠合 T 包含了 S 中每个点的三个副本，这些点在 mod p 下是等价的。按照之前的逻辑，T 中的三个点惟有在至少两个点在 mod p 下第价的情况下才调在一条线上。这只可发生在一条水平的、垂直的或者斜率为±1的线上。

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水和蔼垂直线不成包含3个点，因为它们只经过S的2个副本，而对角线也不成，因为它们经过的第三个点会在T的中心“闲隙”中。

是以，咱们一经得到了大致1.5n 的下界和 2n 的上界。

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然而，咱们还不祥情在阿谁限制内不错找到任何特定的大 n 的最好解。还有临了一个处理问题的时刻——料想（conjecture），来自 Richard Guy 和 Patrick Kelley 在1968年，由 Gabor Ellmann 在2004年修正。

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这个料想使用了统计参数。开拔点，咱们需要盘算在 n x n 网格中3个迅速点是共线的概率。Guy 和 Kelley 用组合数来作念这个（也就长短常高等的计数），要是你想看整个的细节，你应该稽察他们的论文（The No-Three-In-Line Problem）

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秘诀是盘算整个可能斜率的整个直线上的整个点。

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得到的大致概率是

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一朝有了这个概率，就不错盘算，对于任何给定的常数 k 在1.5到2之间，一个 n x n 网格中迅速选取的 kn 个点莫得3个点共线的概率是若干。遵循大致是

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然后，乘以 kn 点的总组合数，

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来看大致有若干莫得三点共线的组合。这个等式是由一个 n^n 项诓骗的，或者更具体地说是

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这本体上是 Ellmann 的修正场地：Guy 和 Kelley 诞妄地使用了 +2而不是 +k。当指数中的所有为负时，这个项变为零：换句话说，要是 k 太大，那么，咱们瞻望基于迅速性，可能莫得任何三点共线的点集。这并不料味着不成有一个，仅仅统计上不太可能。一些代数揭示了当 k 跨越 π 除以3的日常根时，这个所有为负。

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是以，这个测度是这是一个截止。对于一个 n x n 的网格，你不太可能或者遗弃比 n 乘以 π 除以3的日常根多的点而莫得其中的三点共线。

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论断

咱们从一个对于海外象棋棋盘的意想的小谜题初始，一直到东谈主类学问的角落——数学家只作念了有把柄的猜猜。但愿你能看到，为什么在追求谜底的进程中皇冠国际休闲会所，每一步都是合理的。像这么的敞开数学问题遍地可见，只须你深切挖掘，就会发现，正如旧的问题得到了谜底，新的问题也被建议。是以，快点出去探索吧！

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